История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Промежуточные значения непрерывных на отрезке функций

Теорема 8 (теорема Больцано–Коши). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и , то для любого C, заключённого между A и B, существует такая точка, , что .

Иначе говоря, непрерывная на отрезке функция, принимая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними значение.

Доказательство. Пусть для определённости  и A < C < B. Разделим отрезок [a, b] точкой x0 на два равных по длине отрезка; тогда либо  и, значит, искомая точка x = x0 найдена, либо  и тогда на концах одного из полученных отрезков функция f принимает значения, лежащие по разные стороны от числа C, точнее – на левом конце значение, меньшее C, на правом – большее.

Обозначим этот отрезок [a1, b1] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т. д. В результате либо через конечное число придём к искомой точке x, в которой , либо получим последовательность вложенных отрезков [an, bn], по длине стремящихся к нулю и таких, что

 . (19.8)

Пусть x – общая точка всех отрезков [an, bn]. Как известно, . Поэтому, в силу непрерывности функции f,

 . (19.9)

Из (19.8) же получим

 . (19.10)

Из (19.9) и (19.10) следует, что . □

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

Это следствие – частный случай теоремы (см. рисунок).

Следствие 2. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и . Тогда функция f принимает все значения из отрезка [m, M] и только эти значения.

Для доказательства следствия заметим, что если , то  и, согласно теореме 7, существуют такие точки , что . Теперь рассматриваемое следствие непосредственно вытекает из теоремы 8, применённой к отрезку [ab], если a£b, или, соответственно, к отрезку [ba], если a>b.

Таким образом, множество всех значений функции, заданной и непрерывной на некотором отрезке, представляет собой также отрезок.

Математический анализ лекции и задачи

Понятие функции является одним из главных в математике. С его помощью выражают зависимости меж различными переменными величинами. исследование параметров функций, основанное на способе пределов, составляет содержание математического анализа.
Неопределенный интеграл