История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Непрерывность на отрезке

Функция f, определённая на числовом множестве X, называется строго возрастающей (строго убывающей), если для любых двух чисел x1ÎX и x2ÎX таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1)<f(x2) (соответственно f(x1)>f(x2)).

Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной.

Лемма 6. Пусть функция f строго возрастает (убывает) на некотором множестве XÌ¡ и пусть Y – множество её значений. Тогда обратная функция f является однозначной строго возрастающей (строго убывающей) функцией на множестве Y.

Доказательство. Пусть для определённости функция f строго возрастает на множестве X. Докажем, что обратная функция однозначна.

Допустим противное. Пусть существует такая точка yÎY, что множество  содержит, по крайней мере, две различных точки x1 и x2:

 ,

и, следовательно,

 . (20.1)

Для двух чисел x1 и x2, x1 ¹ x2 справедливо одно из двух неравенств: x1<x2 или x1 > x2; в первом случае, в силу строгого возрастания функции f, имеем f(x1) < f(x2), а во втором f(x1) > f(x2), т. е. в обоих случаях равенство (20.1) не выполняется. Таким образом, для каждого yÎY множество  состоит в точности из одной точки, т. е. функция  однозначна.

Докажем теперь, что функция  строго возрастает на множестве Y. Пусть

  (20.2)

и пусть . Следовательно, . Для любых двух чисел x1 и x2 справедливо одно из трёх соотношений: либо x1 > x2, либо x1 = x2, либо x1 < x2. Если x1 > x2 или x1 = x2, то, соответственно, было бы y1 > y2 (в силу строгого возрастания функции f) или y1 = y2 (в силу однозначности), что противоречило бы неравенству (20.2). Таким образом, из неравенства (20.2) следует, что x1<x2, а это и означает строгое возрастание функции   на множестве Y.

В случае строго убывающей на множестве функции f доказательство можно провести аналогичным образом. □

Теорема 9. Пусть функция f определена, строго возрастает (строго убывает) и непрерывна на отрезке [a, b]; тогда обратная функция  определена, однозначна, строго возрастает (строго убывает) и непрерывна на отрезке с концами в точках f(a) и f(b).

Доказательство. Проведём доказательство теоремы для строго возрастающих функций. Пусть . В этом случае , поэтому из следствия 2 теоремы 8 следует, что множеством значений функции f является отрезок [c, d], т. е. [c, d] – область определения обратной функции .

Математический анализ лекции и задачи

Понятие функции является одним из главных в математике. С его помощью выражают зависимости меж различными переменными величинами. исследование параметров функций, основанное на способе пределов, составляет содержание математического анализа.
Неопределенный интеграл