История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Равномерная непрерывность

Функция f, заданная на отрезке [a, b], называется равномерно непрерывной на нём, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для любых двух точек  таких, что , выполняется неравенство .

Ясно, что всякая равномерно непрерывная на отрезке функция непрерывна на нём: если в определении равномерной непрерывности зафиксировать точку x, то получится определение непрерывности в этой точке.

Теорема 10 (Кантора). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём.

Доказательство. Докажем теорему от противного. Допустим, что на некотором отрезке [a, b] существует непрерывная, однако не равномерно непрерывная на нём функция f. Это означает, что существует такое e > 0, что для любого d > 0 найдутся такие точки , что , но . В частности, для  найдутся такие точки, обозначим их , что , но .

Из последовательности точек  в силу её ограниченности можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Обозначим её предел x0:

  .

Поскольку , то . Функция f непрерывна в точке x0, поэтому

 . (20.4)

Подпоследовательность  последовательности  также сходится к точке x0, ибо при k®¥

  .

Поэтому

 . (20.5)

Из (20.3) и (20.4) следует, что

  ,

а это противоречит условию, что при всех k выполняется неравенство

 .

Полученное противоречие доказывает теорему. □

Пример. Показать, что непрерывная на интервале  функция  не является равномерно непрерывной на нём.

Математический анализ лекции и задачи

Понятие функции является одним из главных в математике. С его помощью выражают зависимости меж различными переменными величинами. исследование параметров функций, основанное на способе пределов, составляет содержание математического анализа.
Неопределенный интеграл