История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Инвариантность формы первого дифференциала функции

Следствие (инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной):

 . (24.5)

В этой формуле  является дифференциалом функции, а dx – дифференциалом независимой переменной.

Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на «дифференциал этой переменной» – независимо от того, является эта переменная, в свою очередь, функцией или независимой переменной.

Докажем это. По теореме 1 , отсюда, применив формулу (24.1) для производной сложной функции, получим , но , поэтому . □

Вычисление производных сложных функций

Пример. Пользуясь формулой (24.1), вычислить производную функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Пусть дифференцируемая функция  задана неявно уравнением . Дифференцируя тождество  как сложную функцию, можно вычислить производную .

Пример. Вычислить производную функции .

Математический анализ лекции и задачи

Графиком функции именуется множество всех точек координатной плоскости вида. График дает наглядное представление о поведении функции, но более комфортным в теоретических исследованиях является аналитический метод задания функций с помощью формул
Неопределенный интеграл