История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Производные высших порядков от сложных функций

Теорема 7. Пусть функция  имеет вторую производную в точке x0, а  – вторую производную в точке . Тогда сложная функция  имеет при x = x0 вторую производную, причём

 .

Доказательство. Поскольку существуют производные  и , существуют также  и . Следовательно, функции  и  непрерывны в точках x0 и y0 соответственно. Поэтому в некоторой окрестности точки x0 определена сложная функция . Дифференцируя эту функцию и опуская для простоты обозначение аргумента, имеем ; дифференцируя ещё раз по x, получим

 . □

Аналогичным образом вычисляются, при соответствующих предположениях, и производные высших порядков сложной функции. Этот метод позволяет также доказывать существование и находить производные высших порядков от обратной функции.

Математический анализ лекции и задачи

В качестве области определения функции могут выступать разные числовые множества, к примеру: а) отрезок; б) интервал; в) полуинтервалы; г) нескончаемые полуинтервалы д) множество всех реальных чисел
Неопределенный интеграл