История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически

Теорема. Пусть функция  непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0, и пусть при x=x0 существуют производные  и , причём ; тогда и обратная функция  имеет вторую производную в точке , причём она может быть выражена через значения производных  и .

Доказательство. Опуская, как и выше, обозначения аргумента, имеем . Вычисляя производную по y от обеих частей и применяя к правой части правило дифференцирования сложной функции, получаем

 . □

Пусть функции  и  определены в некоторой окрестности точки t0 и одна из них, например , непрерывна и строго монотонна в указанной окрестности; тогда существует обратная к   функция , и в некоторой окрестности точки   имеет смысл композиция . Эта функция y от x и называется параметрически заданной формулами  функцией.

Математический анализ лекции и задачи

В качестве области определения функции могут выступать разные числовые множества, к примеру: а) отрезок; б) интервал; в) полуинтервалы; г) нескончаемые полуинтервалы д) множество всех реальных чисел
Неопределенный интеграл