История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Выведем формулы для дифференцирования параметрически заданных функций.

Теорема 9. Если функции  и  имеют в точке t0 производные и если , то параметрически заданная функция  также имеет в точке   производную, причём

 . (26.1)

Если, кроме того, существуют , то существует и , причём

 . (26.2)

Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции имеем (опуская обозначение аргумента)

 ,

а по правилу дифференцирования обратной функции

 .

Объединяя две последних формулы, получаем формулу (26.1).

Аналогичным образом доказывается формула (26.2):

 . □

Вычисление производных более высокого порядка параметрически заданных функций осуществляется по той же схеме.

Пример. Вычислить первую и вторую производные от функции

 .

Математический анализ лекции и задачи

В качестве области определения функции могут выступать разные числовые множества, к примеру: а) отрезок; б) интервал; в) полуинтервалы; г) нескончаемые полуинтервалы д) множество всех реальных чисел
Неопределенный интеграл