История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Теорема Коши

Пусть функции f и g:

1) непрерывны на отрезке ;

2) имеют производные в каждой точке интервала ;

3)   во всех точках интервала .

Тогда существует такая точка x, a<x<b, что

 . (28.9)

Замечание. Заметим, что из условий теоремы следует, что формула (28.9) имеет смысл, т. е. . В самом деле, если , то функция g удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и, значит, нашлась бы такая точка x, что , a < x < b, что противоречило бы условию 3.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

 , (28.10)

где число l выберем таким образом, чтобы , т. е. чтобы . Для этого нужно взять

 . (28.11)

Функция F удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, следовательно, существует такая точка x, a < x < b, что . Но из (28.10) , поэтому , откуда следует, что

 .  (28.12)

Сравнив (28.11) и (28.12), получим формулу (28.9), обычно называемую формулой конечных приращений Коши. □

Отметим, что формула конечных приращений Лагранжа является частным случаем формулы конечных приращений Коши, в которой .

Математический анализ лекции и задачи

Под областью определения функции, заданной формулой, соображают традиционно множество всех значений аргумента, для которых эта формула имеет смысл.
Неопределенный интеграл