История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

О правилах Лопиталя

Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил Лопиталя, мы изложим в этом пункте.

Неопределённости вида

Теорема 14. Пусть функции f и g, определённые на отрезке , таковы, что в некоторой точке :

1) ;

2) существуют производные (односторонние производные, если x=a или x=b) , причём .

Тогда существует предел

  .

Доказательство. Поскольку обе функции дифференцируемы в точке x0, их приращения в окрестности этой точки описываются формулами:

  ,

 .

Отсюда, согласно условию 1, получим, что

  ,

 ,

поэтому

 . □

Математический анализ лекции и задачи

Под областью определения функции, заданной формулой, соображают традиционно множество всех значений аргумента, для которых эта формула имеет смысл.
Неопределенный интеграл