История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Вывод формулы Тейлора

Итак, доказана следующая важная теорема.

Теорема 18. Пусть функция , определённая на интервале , имеет в точке  производные до порядка n включительно. Тогда при x®x0

  (30.4)

или .

Эта теорема остаётся справедливой вместе с её доказательством и для функции f, определённой на отрезке  при , если для x0=a и x0=b под производными понимать соответствующие односторонние производные.

Формула (30.4) называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Многочлен

  (30.5)

называется многочленом Тейлора степени n, а функция

 

– остаточным членом n-го порядка формулы Тейлора.

Приведём другой вид записи формулы (30.4). Положив , получим

 .

Если в формуле (30.4) x0 = 0, то получается частный вид формулы Тейлора, называемый обычно формулой Маклорена:

 .

Доказанная теорема позволяет любую функцию, удовлетворяющую условиям этой теоремы, заменить в окрестности некоторой точки многочленом с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем члены многочлена. Таким многочленом является многочлен Тейлора. Величина погрешности определяется при этом остаточным членом.

Математический анализ лекции и задачи

Под областью определения функции, заданной формулой, соображают традиционно множество всех значений аргумента, для которых эта формула имеет смысл.
Неопределенный интеграл