История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Математический анализ Предел функции Производная и дифференциал

Исследование поведения функции

Признак монотонности функции

Теорема 20. Для того чтобы непрерывная на некотором промежутке функция, дифференцируемая во всех его внутренних точках, возрастала (убывала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы производная функции была во всех внутренних точках промежутка неотрицательна (неположительна).

Если во всех внутренних точках промежутка производная функции положительна (отрицательна), то функция строго возрастает (строго убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Необходимость. Если функция f возрастает (убывает) на промежутке D (отрезке, интервале или полуинтервале) с концами в точках a и b, а x0ÎD, Dx>0, x0+DxÎD, то  (соответственно ), поэтому  (соответственно ). Площадь криволинейного сектора Область, ограниченная непрерывной линией и двумя лучами

Следовательно,  (соответственно ). Перейдя к пределу при Dx®0, получим  (соответственно ).

Доказательство. Достаточность. Пусть , тогда по формуле Лагранжа, , где . Так как , то при  на  (откуда следует, в частности, ) будем иметь , т. е. функция f возрастает. Аналогично, при   на  имеем  и, следовательно, , т. е. функция f убывает.

Если   на , то  и поэтому , т. е. функция f строго возрастает. Если же  на , то , следовательно, , т. е. функция f строго убывает. □

Замечание. Условия  и  не являются необходимыми для строгого возрастания (строгого убывания) дифференцируемой на интервале функции, что показывают примеры функций . Первая из них строго возрастает, а вторая строго убывает на всей числовой оси, но при x0=0 их производные обращаются в нуль.

Пример. Исследовать функции на монотонность:

1. .

2. .

3. .

4. .

Математический анализ лекции и задачи

Напомним определения и характеристики неких элементарных функций, известные из школьного курса математики. В каждом случае укажем аналитическое выражение и область определения функции, приведем её график
Неопределенный интеграл