Исследование функций Интегральное исчисление

История искусства
Живопись Франции
Живопись Испания
Курбе и реализм
Промышленная архитектура и
эстетика века машин
Архитектура во время перемен
Русские художники начала 20 века
Василий Васильевич Кандинский
Баухаус
Архитектура Москвы
История абстрактного искусства
Импрессионизм
художественная школа
Новая техника живописи
выставки импрессионистов
Импрессионисты и символисты
Ван Гог
Гоген Поль Дега Эдгар
Мане Эдуард Моне Клод
Революция соборов
Энергетика
Экология энергетики
Анализ работы электрофильтров
Регенеративные методы
Ядерное топливо
Математическое моделирование экологических систем
Ядерные топливные циклы
Графика
Выполнение графических работ
Машиностроительное черчение
Инженерная графика
Изучаем ArchiCAD
Строительное проектирование
Трехмерная проекция
Maya 3D
Трехмерное объектно-ориентированное
программное обеспечение CAD
Математика решение задач
Функция нескольких переменных
Интеграл Типовые задачи
Системы линейных уравнений
Предел функции
Производная и дифференциал
Неопределенный интеграл
Теория вероятности
Математика примеры решения задач
Обыкновенные дифференциальные
уравнения
Функция комплексной переменной
Дифференциальное исчисление
Элементы линейной алгебры
Пределы и непрерывность функции
Векторная алгебра
Математический анализ
Исследование функций
аналитическая геометрия
Числовые последовательности
Графические методы решения задач
Информатика
Диспетчер доступа
Межсетевое экранирование
Центральный процессор
персонального компьютера
История развития ПК
Сетевые службы Active Directory
Дополнительные сетевые службы
Физика решение задач
Квантовая и атомная физика
Решение задач по физике примеры
Курс лекций по физике
Расчет электрических цепей.
Исследование линейной цепи
Линейные электрические цепи
Методика расчёта электрических цепей
Физика Кинематика
примеры решения задач
Лекции по физике теория газов

Исследование функций

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке Решение. Функция достигает наибольшего и наименьшего значения либо в критических точках, принадлежащих заданному отрезку, либо на концах этого отрезка. Найдем критические точки (т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует)

Исследовать функцию  и построить ее график.

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат

Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности

Неопределенный интеграл. Пример. Найти неопределенный интеграл, значит вспомнить таблицу производных , свойства неопределенного интеграла, свойства дифференциала, сообразить как выглядит первообразная. и записать совокупность первообразных

Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции Тригонометрические и гиперболические подстановки Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t

Построим график функции, используя результаты исследования

Интегральное исчисление функции одной переменной.

Таблица основных интегралов. Вычислить интеграл .

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  и ; В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой. Пусть функция  непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси  криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой: 

Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной. Определить вид кривой .

Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами

Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

Найти все лорановские разложения данной функции  по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

Для функции  найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах Вычислить интегралы с помощью вычетов Вычислить интегралы от функции комплексного переменного

Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением .

Механические приложения двойного интеграла. Будем считать, что D - неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной . В механике  определяется так. Точка Р окружается малой областью S, находится масса m(S) и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать буквой S), и . Для нахождения массы по заданной плотности мы ь обратную задачу.

Скалярное и векторное поле Рассмотрим теперь поверхность уровня скалярного поля , т.е. поверхность, задаваемую уравнением . Предположим, что  - непрерывно дифференцируемая функция от .

Соленоидальное поле Циркуляция, ротор. Векторная формулировка теоремы Стокса Пусть  - контур с заданным направлением обхода,  - векторное поле,  - единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию как интеграл  (смысл – работа силы  вдоль контура ).

Кратные и криволинейные интегралы.

Задача Записать двойной интеграл в виде повторного и изменить порядок интегрирования, если область интегрирования . Решение. Область интегрирования D является правильной (простой) в направлении оси ОУ, т.к. любая прямая, параллельная оси ОУ, пересекает границу области D не более чем двух точках. Первую точку пересечения с линией у=х2 назовем точкой входа, а линию - линией входа, ее уравнение у=х2. Вторую точку пересечения с линией у=2-х назовем точкой выхода, а линию – линией выхода.

Найти интеграл . Решение. Поделив каждое слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:

Найти интеграл . Найти интеграл . . . .

Вычислить интеграл  .

Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Вычислить интеграл от разрывной функции  или установить его расходимость.

Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной графиками данных функций

Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным: .

Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:   где Решение. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла, причем способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования L

Вычислить площадь части сферы , вырезанной цилиндром  и плоскостью 

Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями  

Найти величину и направление наибольшего изменения поля  в точке

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Найти общее решение дифференциальных уравнений .

Вычислить . Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: .

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений. Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t:

Записать уравнение кривой, проходящей через точку, для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).

Найти общее решение дифференциального уравнения *. Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .

Решить уравнение . Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка .

Ряды.

Исследовать на сходимость числовые ряды: Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:

Найти область сходимости ряда . Вычислить с точностью  интеграл .

Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .

Разложить данную функцию в ряд Фурье Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности Продолжим функцию на отрезок  нечетным образом

Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы.

Задача. Бросается 4 монеты. Какова вероятность того, что три раза выпадет «решка»?

Дан ряд распределения дискретной случайной величины Y. Определить значение x и вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Y.

Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг. Найти матрицу перехода данной цепи за три шага.

Задача. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

 

Русские художники