История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Производная и дифференциал

Математика примеры решения задач контрольной

Ряды.

Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда

Вычислим

В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.

Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь  

Вычислим

Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.

Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его

Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства и связь между ними

Если последовательность  имеет своим пределом нуль, т.е. , то ее называют бесконечно малой последовательностью (б.м.п.).

Символическая запись определения б.м.п.:

  .

Например, последовательности  и  являются б.м.п.

Приведем основные свойства б.м.п.

Свойство 4.7. Сумма, разность и произведение двух б. м. п. есть б. м. п.

Следствие 11.4. Алгебраическая сумма и произведение любого конечного числа б. м. п. есть б. м. п.

Свойство 4.8. Произведение ограниченной последовательности на б. м. п. есть б. м. п.

Следствие 11.5. Произведение б. м. п. на число есть б. м. п.

Встречаются последовательности, члены которых с увеличением номера могут сделаться по модулю больше любого наперед заданного числа; такие последовательности называются бесконечно большими.

Ряд Тейлора. Достаточное условие разложения в ряд Тейлора. Примеры разложения основных функций в ряд Тейлора. При x0 =0 такой ряд называют также рядом Маклорена. Функция f(x) может быть разложена в степенной ряд на интервале, если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки x0, то это ряд Тейлора.
Математический анализ