История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Производная и дифференциал

Математика примеры решения задач контрольной

Ряды.

Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:

Полученный ряд эквивалентен исходному, так как

Таким образом, исходный ряд и ряд  сходятся и расходятся одновременно. Т.к. ряд   сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.

Так как , то

.

Ряд  расходится , следовательно, исходный ряд также расходится.

Оценим общий член ряда:

.

Ряд

Ряд   сходится , следовательно, эквивалентный ряд  также сходится. Т.к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.

Если последовательность  имеет бесконечный предел, соответственно равный ,  или , то ее называют бесконечно большой последовательностью (б. б. п.).

Приведем символическую запись определения б.б.п.:

  .

Приведем примеры б. б. п.:

1) ;

2) ;

3) .

Докажем теорему, устанавливающую связь между б. б. и б. м. последовательностями.

Теорема 11.4. Если  - б. б. п. и все ее члены отличны от нуля, то  - б. м. п., и, обратно, если  - б. м. п. и , то  - б. б. п.

□ Пусть  - б. б. п. Возьмем любое  и положим . Согласно определению для этого М существует номер N такой, что при  будет . Отсюда получаем, что  для всех . А это значит, что последовательность  бесконечно малая.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично. ■

Ряд Тейлора. Достаточное условие разложения в ряд Тейлора. Примеры разложения основных функций в ряд Тейлора. При x0 =0 такой ряд называют также рядом Маклорена. Функция f(x) может быть разложена в степенной ряд на интервале, если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки x0, то это ряд Тейлора.
Математический анализ