История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Производная и дифференциал

Математика примеры решения задач контрольной

Ряды.

Пример. Найти область сходимости ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:

Ряд сходится, если

  или ;

  или ,

.

Ряд расходится, если .

Неопределенный случай:  т.е.  или ,

Пусть :  ‑ сходится.

Ряд  сходится как эквивалентный сходящемуся ряду.

Пусть : .

Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при , а он сходится. Т.к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.

Получили, что  ‑ область сходимости ряда.

аметим теперь, что если переопределить значение интегрируемой функции в одной или нескольких точках (в конечном числе точек), то она останется интегрируемой и значение определённого интеграла от неё не изменится.

Действительно, изменение значения в одной точке $ x_0$либо вовсе не меняет интегральную сумму, либо изменяет одно её слагаемое, если $ x_0$совпадает с одной из точек разметки $ \ov x_i$. Но при измельчении разбиения, то есть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$, вклад слагаемого $ f(\ov x_i)h_i$, соответствующего отрезку, на котором лежит $ x_0$, стремится к 0, так как $ h_i\to0$. Значит, предел $ I=\lim\limits_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S(\Xi)$не меняется. Если точек $ x_0$, в которых изменяется значение функции, несколько, то их можно добавлять по одной, что и завершает доказательство утверждения.     

Выясним теперь некоторые общие свойства определённого интеграла $ \int_a^bf(x)\;dx$. При этом будем предполагать, что функции, стоящие под знаком определённого интеграла, -- интегрируемые.

Линейность интеграла. Пусть $ f(x)$ -- интегрируемая на $ [a;b]$функция. Докажем формулу, означающую, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, а именно, что если $ k=\mathrm{const}$, то функция $ kf(x)$интегрируема на $ [a;b]$и имеет место формула

$\displaystyle \int_a^bkf(x)\;dx=k\int_a^bf(x)\;dx.$

Ряд Тейлора. Достаточное условие разложения в ряд Тейлора. Примеры разложения основных функций в ряд Тейлора. При x0 =0 такой ряд называют также рядом Маклорена. Функция f(x) может быть разложена в степенной ряд на интервале, если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки x0, то это ряд Тейлора.
Математический анализ