История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Производная и дифференциал

Математика примеры решения задач контрольной

Ряды.

Пример. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .

Решение.

Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи  Выразим из уравнения :

Найдем , продифференцировав обе части равенства  по :

Окончательно получим:

.

Если речь идет о различных членах последовательности , то имеются в виду элементы с различными индексами , хотя иногда может случиться, что , .


Геометрически последовательность изображается на координатной прямой в виде последовательности точек, координаты которых равны соответствующим элементам последовательности. На рис. 11.1 изображены последовательности 1) и 6).

Ограниченные и неограниченные последовательности. Последовательность  называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (число ) такое, что любой элемент  этой последовательности удовлетворяет неравенству  ().

Последовательность  называется ограниченной, если существуют числа  и М такие, что , . Пусть . Тогда условие ограниченности последовательности можно записать в виде .

Рассмотренные выше примеры показывают, что последовательности: 4), 5) – ограничены снизу, но не ограничены сверху; 6) – неограниченная; 1), 2), 3) – ограничены.

Ряд Тейлора. Достаточное условие разложения в ряд Тейлора. Примеры разложения основных функций в ряд Тейлора. При x0 =0 такой ряд называют также рядом Маклорена. Функция f(x) может быть разложена в степенной ряд на интервале, если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки x0, то это ряд Тейлора.
Математический анализ