История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Производная и дифференциал

Математика примеры решения задач контрольной

Ряды.

Пример. Разложить данную функцию в ряд Фурье

  в интервале (-2, 2):

  по синусам на интервале .

Решение.

Разложение периодической (период ) функции имеет вид:

а) В нашем примере l=2.

где  

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

;

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Предел последовательности и его геометрическое истолкование. Число   называется пределом числовой последовательности   и обозначается , если для любого сколь угодно малого положительного числа  существует целое положительное число , такое, что для всех  выполняется неравенство .

С помощью логических символов это определение можно записать в виде

(). (11.1)

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Дадим определение предела последовательности, используя понятие окрестности.

Из условия (11.1) и (10.8) имеем

,


Отсюда, число   является пределом последовательности , если для любого  найдется номер , начиная с которого все члены последовательности принадлежат -окрестности точки  (рис. 11.2).

Таким образом, последовательность  сходится к числу , если вне любой -окрестности точки  имеется конечное число членов последовательности.

Ряд Тейлора. Достаточное условие разложения в ряд Тейлора. Примеры разложения основных функций в ряд Тейлора. При x0 =0 такой ряд называют также рядом Маклорена. Функция f(x) может быть разложена в степенной ряд на интервале, если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки x0, то это ряд Тейлора.
Математический анализ