История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Производная и дифференциал

Математика примеры решения задач контрольной

Ряды.

Пример. Разложить данную функцию в ряд Фурье

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

Аналогично предыдущему

и окончательно получим:

Подставляя полученные значения  в разложение , получим:

Свойства сходящихся последовательностей. Приведем без доказательства некоторые свойства сходящихся последовательностей.

Свойство 4.1. Сходящаяся последовательность имеет единствен-ный предел.

Свойство 4.2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Свойство 4.3. Если , то, начиная с некоторого номера , члены последовательности сохраняют знак .

Следствие 11.1. Если ,  и , то, начиная с некоторого номера , выполняется неравенство .

Свойство 4.4. (, )  (), т.е. переход к пределу в неравенстве  не нарушает знака неравенства. В частности, если , то .

Свойство 4.5. Пусть даны три последовательности ,  и . Тогда

( . (11.2)

Свойства 11.4 и 11.5 составляют содержание вопроса о переходе к пределу в неравенствах.

Свойство 4.6. Если последовательности  и  сходятся и , то

;  (4.11)

; (4.12)

. (4.13)

Ряд Тейлора. Достаточное условие разложения в ряд Тейлора. Примеры разложения основных функций в ряд Тейлора. При x0 =0 такой ряд называют также рядом Маклорена. Функция f(x) может быть разложена в степенной ряд на интервале, если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки x0, то это ряд Тейлора.
Математический анализ