Ряд Тейлора. Достаточное условие разложения в ряд Тейлора. Примеры разложения основных функций в ряд Тейлора. При x0 =0 такой ряд называют также рядом Маклорена. Функция f(x) может быть разложена в степенной ряд на интервале, если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки x0, то это ряд Тейлора.Ряды.
Пример. Разложить данную функцию в ряд Фурье
Продолжим функцию на отрезок
нечетным образом (рис. 1).
Рис. 1
Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т.е.
.
Найдем коэффициенты
, используя формулу:
Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:
.
Таким образом,
.
Лемма. Пусть
и
- последовательность действительных чисел, для которой
. Тогда
. (4.17)
Отсюда легко вытекает
Теорема 11.1. Пусть
. Если переменная
имеет конечный предел, то
. (4.18)
□ Пусть
. Положим
. Тогда
и, по лемме,
.
Пользуясь этим равенством, получим
,
т.е.
![]()
![]()
.
В случае
теорема очевидна.
Пусть теперь
. Положим
. Тогда
и, по доказанному,
.
Следовательно,
. ■