История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Производная и дифференциал

Математика примеры решения задач контрольной

Ряды.

Пример. Разложить данную функцию в ряд Фурье

Продолжим функцию на отрезок  нечетным образом (рис. 1).

Рис. 1

Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т.е. .

Найдем коэффициенты , используя формулу:

Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:

.

Таким образом, .

Лемма. Пусть  и  - последовательность действительных чисел, для которой . Тогда

.  (4.17)

Отсюда легко вытекает

Теорема 11.1. Пусть . Если переменная  имеет конечный предел, то

.  (4.18)

□ Пусть . Положим . Тогда  и, по лемме,

.

Пользуясь этим равенством, получим

,

т.е.

   .

В случае   теорема очевидна.

Пусть теперь . Положим . Тогда  и, по доказанному,

.

Следовательно,

  . ■

Ряд Тейлора. Достаточное условие разложения в ряд Тейлора. Примеры разложения основных функций в ряд Тейлора. При x0 =0 такой ряд называют также рядом Маклорена. Функция f(x) может быть разложена в степенной ряд на интервале, если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки x0, то это ряд Тейлора.
Математический анализ