История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа по математике примеры решений

 Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением . Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

.

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром x2 + y2 = 2ax из сферы x2 + y2 + z2 = 4a2 .

Решение. На рисунке изображён верхний из этих лепестков. Уравнение поверхности   вычисляем производные   и . Область D - сдвинутый на а единиц по оси Ох круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей Оху и Охz:  .

Нарушение этой формулы в единственной точке  не повлияет на результат, поэтому , где  - проекция  на плоскость , т.е.  - круг .

В интеграле, стоящем в правой части, перейдем к полярным координатам:  ( - якобиан преобразования) .

Основание  задано уравнением , поэтому   и  (этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).

Итак, весь интеграл .

Несобственный интеграл. Разновидность несобственных интегралов. Исследования совпадения несобственных интегралов. Решение экономических примеров.

   Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.
   Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от a до +Ґ определяется равенством

   Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует, - расходящимся.
   Аналогично

и

   Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a,b] и непрерывна при a <= x < с и с < x < b, то по определению, полагают

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида y'=f(x, y) называют уравнениями в нормальной форме. Функция y=y(x) называется решением дифференциального уравнения, если она непрерывно дифференцируема на (a, b) и при всех x из (a, b) удовлетворяет уравнению F(x, y(x), y'(x))=0.
наибольшее и наименьшее значение функции