История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа по математике примеры решений

 Механические приложения двойного интеграла. Будем считать, что D - неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной . В механике  определяется так. Точка Р окружается малой областью S, находится масса m(S) и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать буквой S), и . Для нахождения массы по заданной плотности мы ь обратную задачу. Разобьём D на малые подобласти D1, D2, D3, …, Dn, в каждой из подобластей Di выберем произвольную точку Pi, и, считая что в пределах Di плотность постоянна и равна , получим, что масса Di приближённо есть , а масса всей пластины . Это - интегральная сумма, при уменьшении   точность приближения увеличивается, и в пределе .

 Аналогично находятся другие параметры пластины:

координаты центра тяжести , ;

моменты инерции  (относительно оси Ox),  (относительно оси Oy),  (относительно начала координат).

 Пример: найти параметры неоднородной плоской пластины, ограниченной кривыми  если плотность .

 Решение.

   (что и следовало ожидать, так как область и плотность симметричны относительно оси Оу).

.

. .

Поверхностные интегралы 2-го типа

Пусть  двусторонняя поверхность. Выберем определенную сторону этой поверхности. Пусть  обозначает нормаль, соответствующую выбранной стороне.

Предположим, что задано векторное поле , определенное и непрерывное на .

Определение. Величина  называется поверхностным интегралом 2-го типа от векторного поля  по выбранной стороне поверхности .

Этот же интеграл часто записывают так: . При этом для выбранной стороны использованы обозначения , .

После интегрирования по частям мы преобразовали интеграл в правой части, добавив и отняв $ R^2$в числителе, после чего поделили скобку $ (R^2-x^2)$на $ \sqrt{R^2-x^2}$и получили тот же интеграл, с которого начинали, то есть $ S$. Оставшийся интеграл

$\displaystyle \int_a^b\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}$--

табличный, но вместо привычной табличной формулы

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{R}+C$

мы воспользовались (тоже верной) формулой

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=-\arccos\frac{x}{R}+C$

и применили формулу Ньютона - Лейбница для вычисления определённого интеграла. Теперь в полученном равенстве

$\displaystyle S=
b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})$

перенесём $ S$из правой части в левую и поделим обе части пополам. Получим:

$\displaystyle S=
\frac{1}{2}b\Bigl(
\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})\Bigr).$

Это та же самая формула для площади $ S$, что была получена выше, исходя из формулы площади кругового сектора. Значит, способ подсчёта площади с помощью интеграла не противоречит и этой формуле площади, известной из элементарной геометрии.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида y'=f(x, y) называют уравнениями в нормальной форме. Функция y=y(x) называется решением дифференциального уравнения, если она непрерывно дифференцируема на (a, b) и при всех x из (a, b) удовлетворяет уравнению F(x, y(x), y'(x))=0.
наибольшее и наименьшее значение функции