История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа по математике примеры решений

Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Элементы теории поля

Скалярное и векторное поле

Определение. Скалярное поле на области  () представляет собой произвольную функцию , определенную на .

Поверхности уровня скалярного поля – это множества решений уравнения  при заданных значениях .

Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналог поверхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте. Аналогичные примеры – изотермы, изобары и т.д.

Векторное поле  на области  (или ) – это вектор, координаты которого  являются функциями, определенными на .

Примеры представляют собой силовое поле, поле скоростей и т.п.

Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля

Во 2-м семестре мы уже рассматривали производную плоского поля (т.е. ) по направлению , . Понятие величины отрезка  определяется аналогично и для . Напоминаем: величина  отрезка  представляет собой его длину со знаком “+”, если векторы  и  одинаково направлены и длину со знаком “-”, если их направления противоположны. Тогда, по определению, .

Если введена система прямоугольных декартовых координат и вектор  задан направляющими косинусами , то при условии дифференцируемости  в т.  легко вывести формулу:

, где  - градиент скалярного поля  в точке .

Разумеется, понятие градиента можно ввести и без использования системы координат: , т.к.  - единичный вектор.

Таким образом, , причем равенство наступает при условии . Наибольшее значение  по всем выборам , таким образом, есть , а направление градиента – это как раз тот вектор , на котором это наибольшее значение достигается. Итак, направление и модуль вектора  определено без использования координат. Это говорит об инвариантности этого понятия и о наличии реальных естественно-научных интерпретаций.

Точка является предельной точкой М, если выполняется или 1), или 2).

1) в содержится бесконечное число точек из М

2)  в содержится хотя бы одна точка из М.

Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте площади части круга

Напомним, что выше мы проверили, что формула

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx$

действительно даёт площадь трапеции, давно нам известную в том случае, когда линия $ y=f(x)$ -- прямая. Мы заметили, что надо еще проверить, что эта формула не противоречит другому издавна известному нам случаю площади: когда линия $ y=f(x)$ -- часть окружности, то эту площадь можно подсчитать, исходя из формулы для площади круга (напомним, она равна $ \pi R^2$для круга радиуса $ R$). Не ограничивая общности, можно считать, что центр круга совпадает с началом координат координатной плоскости $ xOy$, так что окружность радиуса $ R$имеет уравнение

$\displaystyle x^2+y^2=R^2.$

Верхняя полуокружность задана тогда уравнением $ y=\sqrt{R^2-x^2}$, то есть представляет собой график функции $ f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$.

Рис.7.5.

Пусть теперь взят отрезок $ [a;b]$, целиком умещаюшийся на диаметре $ [-R;R]$, лежащем на оси $ Ox$. Для определённости разберём случай, когда $ a>0$(тогда $ 0<a<b\leqslant R$). Проведём вертикальные отрезки $ x=a$и $ x=b$через концы $ [a;b]$до пересечения с полуокружностью и получим криволинейную трапецию. Для подсчёта её площади геометрическим способом проведём радиусы $ OM$и $ ON$в точки пересечения вертикальных отрезков $ x=a$и $ x=b$, соответственно, с полуокружностью. Длины этих вертикальных отрезков равны $ \sqrt{R^2-a^2}$и $ \sqrt{R^2-b^2}$. Площадь треугольника $ OMa$равна, очевидно, $ S_1=\frac{1}{2}a\sqrt{R^2-a^2}$, а площадь треугольника $ ONb$равна $ S_2=\frac{1}{2}b\sqrt{R^2-b^2}$. Радиус $ OM$проведён под углом $ {\varphi}_1=\arccos\frac{a}{R}$к оси $ Ox$, а радиус $ ON$ -- под углом $ {\varphi}_2=\arccos\frac{b}{R}$к оси $ Ox$. Используя формулу площади сектора с центральным углом $ {\varphi}_1-{\varphi}_2$, находим площадь сектора круга $ MON$:

$\displaystyle S_{сект.}=\frac{1}{2}R^2({\varphi}_1-{\varphi}_2)=
\frac{1}{2}R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R}).$

Поскольку, как видно из чертежа, площадь $ S$криволинейной трапеции $ aMNb$равна

$\displaystyle S=S_{сект.}+S_{\triangle ONb}-S_{\triangle OMa},$

то получаем формулу

$\displaystyle S=\frac{1}{2}R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})
+\frac{1}{2}b\sqrt{R^2-b^2}-\frac{1}{2}a\sqrt{R^2-a^2}.$

Наша задача -- проверить, что к той же самой формуле приводят и правила интегрирования, если площадь криволинейной трапеции $ aMNb$подсчитывать по общей фоpмуле площади области, лежащей под гpафиком функции $ y=f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$, то есть вычислять как $ S=\int\limits_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx.$

Итак, приступаем к преобразованию этого интеграла. Первым делом проинтегрируем по частям:

$\displaystyle S=\int\limits_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
...
...ht\vert=
 x\sqrt{R^2-x^2}\Bigr\vert _a^b-\int_a^b\frac{-x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=$

   

$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-\int_a^b\frac{(R^2-x^2)-R^2}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=$

   

$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-\underbrace{\int_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx}_{{}=S}+
 R^2\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=$

   

$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(-\arccos\frac{x}{R})\Bigr\vert _a^b=$

   

$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R}).$

   

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида y'=f(x, y) называют уравнениями в нормальной форме. Функция y=y(x) называется решением дифференциального уравнения, если она непрерывно дифференцируема на (a, b) и при всех x из (a, b) удовлетворяет уравнению F(x, y(x), y'(x))=0.
наибольшее и наименьшее значение функции