История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа по математике примеры решений

Однако для вычисления градиента удобно его координатное представление. Из него, в частности, легко следуют свойства градиента.

 ( - дифференцируемая функция)

Пример. Найдем , где  - модуль радиус-вектора .

 и .

По формуле 5 из этого равенства следует:

Мы получили формулу для вычисления гдариента радиальной функции .

Рассмотрим теперь поверхность уровня скалярного поля , т.е. поверхность, задаваемую уравнением . Предположим, что  - непрерывно дифференцируемая функция от . Тогда уравнение касательной плоскости в точке , лежащей на этой поверхности, имеет вид .

Координаты вектора градиента представляют собой коэффициенты этого уравнения. Поэтому  - нормаль к касательной плоскости в т.  и, по определению, нормаль к самой поверхности уровня в этой точке.

Поток вектора через поверхность. Дивергенция векторного поля. Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса

Пусть  - векторное поле,  - двусторонняя поверхность. Пусть выбрана сторона, т.е. нормаль . Назовем  - потоком вектора  через поверхность  в указанную сторону.

Этот термин совпадает со следующей гидродинамической задачей. Пусть  - вектор скорости течения жидкости в момент . Посчитаем, сколько жидкости пройдет через малую часть поверхности  за момент времени . Этот объем жидкости представляет собой цилиндр с основанием  и высотой , т.е. этот объем равен .

Тогда для всей воверхности получим . Таким образом, поток представляет собой скорость изменения количества протекающей через  жидкости в рассматриваемый момент времени.

Пусть векторное поле  задано в выбранной системе координат как . Назовем дивергенцией  скалярное поле  (при условии, что эти частные производные существуют).

Легко доказать, что:

. Здесь  - скалярное поле и символ  обозначает скалярное произведение этих векторов.

Вспомним формулировку теоремы Остроградского-Гаусса: , где  - непрерывно дифференцируемое векторное поле,  - замкнутая поверхность, ограничивающая объем  и  - вектор внешней нормали.

Левая часть формулы имеет вид , т.е. представляет собой поток  через внешнюю сторону , а правую часть можно выразить следующим образом: . Итак, векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса:

При сформулированных выше условиях .

Понятие  можно определить независимым от координат способом. Для этого рассмотрим точку , окружим ее шаром радиуса  и применим теорему Остроградского-Гаусса: , где  - вышеупомянутый шар, а  - внешняя сторона ограничивающей его сферы. К правой части применим теорему о среднем (учитывая непрерывность ): , где  - близкая к  точка. При   и мы можем определить дивергенцию равенством: , в правой части которого система координат не фигурирует.

Если считать  вектором скорости жидкости, то  - это плотность источника.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

        Теорема 7.15   Пусть функции $ f(x)$и $ g(x)$имеют на отрезке $ [a;b]$непрерывные производные $ f'(x)$и $ g'(x)$. Тогда имеет место формула

$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bg(x)f'(x)\;dx.$

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида y'=f(x, y) называют уравнениями в нормальной форме. Функция y=y(x) называется решением дифференциального уравнения, если она непрерывно дифференцируема на (a, b) и при всех x из (a, b) удовлетворяет уравнению F(x, y(x), y'(x))=0.
наибольшее и наименьшее значение функции