История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа по математике примеры решений

Циркуляция, ротор. Векторная формулировка теоремы Стокса

Пусть  - контур с заданным направлением обхода,  - векторное поле,  - единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию как интеграл  (смысл – работа силы  вдоль контура ).

Введем систему координат. Пусть  - направляющие косинусы ,  - координаты .

Тогда  и циркуляция представляет собой интеграл .

Для заданного непрерывно-дифференцируемого поля  определин ротор (или вихрь) этого поля: .

Легко проверить свойства ротора.

 

, где под  понимаем векторное произведение.

Вспомним теперь теорему Стокса: , где  - непрерывно дифференцируемые функции,  - кусочно гладкая поверхность,  - ее край, причем направление обхода  относительно выбраной стороны  является положительным.

Вспомним, что , где  - направляющие косинусы к выбранной стороне.

При этом правая часть формулы Стокса принимает вид   или . Итак, в сделанных выше предположениях теорема Стокса выглядит так: .

Получим определение  без использования системы координат. Пусть  - точка,  - плоскость, в которой лежит окружность  радиуса  с центром в .

Тогда  по теореме о среднем ввиду непрерывности подынтегральной функции. Здесь точка  близка к . По теореме Стокса,  или

.

Ввиду произвольности выбора плоскости, получаем проекцию  на произвольную ось . Это определяет и сам вектор.

Примеры: Исследовать на сходимость интегралы
5. . Функция не имеет первообразной, выражающейся через элементарные функции, поэтому исследовать сходимость с помощью предельного перехода невозможно. При имеет место ; интеграл сходится сходится.
6. . При ; интеграл расходится расходится расходится.
В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, обычно берётся интеграл типа , часто называемый интегралом Дирихле. Этот интеграл сходится, если p > 1, и расходится, если :

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида y'=f(x, y) называют уравнениями в нормальной форме. Функция y=y(x) называется решением дифференциального уравнения, если она непрерывно дифференцируема на (a, b) и при всех x из (a, b) удовлетворяет уравнению F(x, y(x), y'(x))=0.
наибольшее и наименьшее значение функции