История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа по математике примеры решений

Неопределенный интеграл

Пример. Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

В выражении, стоящем под знаком интеграла, обозначим: , а .

По данным  и , для составления правой части формулы, вычисляем   и:

.

Составляем правую часть формулы интегрирования по частям, записывая вместо   их выражения.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Отделим от нечетной степени один множитель: .

Если положить , то . Перейдем в интеграле к новой переменной t:

Возвратившись к прежней переменной, получаем: .

  Доказательство теоремы 7.15.     Поскольку из условий теоремы следует, что под знаками интегралов в левой и правой частях равенства стоят непрерывные функции, то к этим интегралам можно применять формулу Ньютона - Лейбница:

$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=F(b)-F(a)$

и

$\displaystyle \int_a^bg(x)f'(x)\;dx=G(b)-G(a).$

Пусть $ F(x)$ -- некоторая первообразная для функции $ f(x)g'(x)$, а $ G(x)$ -- некоторая первообразная для функции $ g(x)f'(x)$. Формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла, то есть

$\displaystyle \int f(x)g'(x)\;dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)\;dx,$

означает, что

$\displaystyle F(x)=f(x)g(x)-G(x)+C,$

где $ C=\mathrm{const}$. Положим теперь $ x=b$и $ x=a$и получим: $ F(b)=f(b)g(b)-G(b)+C$и $ F(a)=f(a)g(a)-G(a)+C$, откуда

$\displaystyle F(b)-F(a)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\bigl(G(b)-G(a)\bigr).$

Но с учётом равенств, полученных выше по формуле Ньютона - Лейбница, это как раз и даёт доказываемую формулу.     

        Замечание 7.6   Советы, в каких случаях целесообразно применять формулу интегрирования по частям, остаются теми же, как в случае вычисления неопределённых интегралов. Выигрыш от применения формулы интегрирования по частям для определённого интеграла по сравнению с предварительным вычислением первообразной по формуле интегрирования по частям для неопределённого интеграла, а затем применением формулы Ньютона - Лейбница получается от того, что мы сразу, при возникновении внеинтегрального члена, можем вычислить подстановку и далее при преобразованиях использовать полученное число вместо выражения, задающего внеинтегральный член.     

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида y'=f(x, y) называют уравнениями в нормальной форме. Функция y=y(x) называется решением дифференциального уравнения, если она непрерывно дифференцируема на (a, b) и при всех x из (a, b) удовлетворяет уравнению F(x, y(x), y'(x))=0.
наибольшее и наименьшее значение функции