История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа по математике примеры решений

Неопределенный интеграл

Пример. Найти интеграл .

Решение. Понизим у  и  степень с помощью следующих формул: .

Тогда в исходном интеграле получим следующее:

Первый интеграл является табличным: , а во втором интеграле применим формулу понижения степени. Тогда искомый интеграл преобразуется к виду:

.

Пример.  Найти интеграл .

Решение. С помощью формул тригонометрии: , такие подынтегральные выражения приводятся к рациональным выражениям, зависящим от . Получаем:

,

а интеграл приобретает следующий вид:

  .

Применив универсальную тригонометрическую замену

, получим интеграл .

Возвратившись к прежней переменной, имеем:

.

окрестность – это такое множество, каждая точка которого удалена от данной точки х0 менее, чем на ε.

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода).

Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается .
Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

    

        Замечание 3.5   Заметим, что эту формулу можно записать в виде

$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=f(x)g(x)\Bigr\vert _a^b-\int_a^bg(x)f'(x)\;dx,$

где выражение

$\displaystyle f(x)g(x)\Bigr\vert _a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)$

называется внеинтегральным членом. Введя обозначения $ u=f(x)$и $ v=g(x)$, мы можем переписать формулу интегрирования по частям в более коротком виде:

$\displaystyle \int_a^bu\;dv=uv\Bigr\vert _a^b-\int_a^bv\;du.$

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида y'=f(x, y) называют уравнениями в нормальной форме. Функция y=y(x) называется решением дифференциального уравнения, если она непрерывно дифференцируема на (a, b) и при всех x из (a, b) удовлетворяет уравнению F(x, y(x), y'(x))=0.
наибольшее и наименьшее значение функции