История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа по математике примеры решений

Неопределенный интеграл

Пример. Найти интеграл .

Решение. Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей. Чтобы разложить знаменатель на сомножители нужно решить квадратное уравнение . Его корнями являются . Теперь знаменатель может быть представлен следующим образом

.

Тогда наша дробь представима в виде суммы элементарных дробей:

.

Нужно найти неизвестные коэффициенты A,B,C. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:

.

Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х2,х1,х0 и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

.

Решив эту систему получим следующие значения A, B и C: .

Значит, наша дробь раскладывается на сумму дробей:

.

Подставляя это разложение в интеграл, получаем:

   Теорема 3.9   Пусть функция $ f(x)$непрерывна на отрезке $ [a;b]$. Тогда существует такая точка $ x^*\in[a;b]$, что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=f(x^*)(b-a).$

        Доказательство.     Заметим для начала, что по теореме 7.3 функция $ f(x)$интегрируема на $ [a;b]$, так что интеграл в левой части доказываемого равенства существует. Поскольку функция, непрерывная на отрезке, принимает на нём в некоторых точках $ x_1$и $ x_2$своё наименьшее и наибольшее значения $ m=f(x_1)$и $ M=f(x_2)$, то $ m=f(x_1)\leqslant f(x)\leqslant f(x_2)=M$при всех $ x\in[a;b]$. Согласно неравенству ( 7.4), величина $ \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}$удовлетворяет неравенству

$\displaystyle m\leqslant \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}\leqslant M$

и, следовательно, является промежуточным значением между $ f(x_1)$и $ f(x_2)$. Но непрерывная функция принимает любое своё промежуточное значение в некоторой точке отрезка, значит, существует такая точка $ x^*\in[a;b]$, что

$\displaystyle \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}=f(x^*).$

Умножая последнее равенство на $ b-a$, получаем утверждение теоремы.     

Общее решение дифференциального уравнения. Однако, если поставить задачу: найти решение, удовлетворяющее условию y(x0)=y0, то при определенных условиях такая задача имеет единственное решение. Задача об отыскании решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0, называется задачей Коши. Решение задачи Коши называют частным решением.
наибольшее и наименьшее значение функции