История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа по математике примеры решений

Определенный интеграл

Вычисление определенного интеграла

Пример Вычислить интеграл  .

Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

 

Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:

.

На отрезке  по переменной t функция  непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка  по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем:

.

Пусть функция $ f(x)$непрерывна на отрезке $ [a';b']$, а функция $ {\varphi}(t)$имеет непрерывную производную $ {\varphi}'(t)$на отрезке $ [{\alpha};{\beta}]$, причём все значения $ x={\varphi}(t)$при $ t\in[{\alpha};{\beta}]$принадлежат отрезку $ [a';b']$, в том числе $ {\varphi}({\alpha})=a$и $ {\varphi}({\beta})=b$. Тогда имеет место равенство

$\displaystyle \int_{{\alpha}}^{{\beta}}f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=\int_a^bf(x)\;dx.$

        Доказательство.     Пусть $ F(x)$ -- некоторая первообразная для $ f(x)$, так что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=F(b)-F(a),$

и $ G(t)$ -- некоторая первообразная для $ f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)$, так что

$\displaystyle \int_{{\alpha}}^{{\beta}}f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=G({\beta})-G({\alpha}).$

Поскольку по теореме о замене переменного в неопределённом интеграле имеет место формула

$\displaystyle \int f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=\int f(x)\;dx\Bigr\vert _{x={\varphi}(t)},$

то есть

$\displaystyle G(t)=F({\varphi}(t))+C,$

где $ C=\mathrm{const}$, то при $ t={\beta}$и $ t={\alpha}$имеем $ G({\beta})=F({\varphi}({\beta}))+C$и $ G({\alpha})=F({\varphi}({\alpha}))+C$, откуда

$\displaystyle G({\beta})-G({\alpha})=F({\varphi}({\beta}))-F({\varphi}({\alpha})).$

Учитывая, что $ {\varphi}({\beta})=b$и $ {\varphi}({\alpha})=a$, получаем

$\displaystyle G({\beta})-G({\alpha})=F(b)-F(a),$

а это и есть доказываемая формула замены переменного.     

Общее решение дифференциального уравнения. Однако, если поставить задачу: найти решение, удовлетворяющее условию y(x0)=y0, то при определенных условиях такая задача имеет единственное решение. Задача об отыскании решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0, называется задачей Коши. Решение задачи Коши называют частным решением.
наибольшее и наименьшее значение функции