История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа по математике примеры решений

Несобственный интеграл.

Пример . Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. Перейдем от несобственного интеграла к определенному с границами .Далее считаем полученный интеграл, с помощью обычных правил интегрирования:

Пример. Вычислить несобственный интеграл  или установить его расходимость.

Решение. Так же, как и в предыдущем примере, перейдем от несобственного интеграла к определенному под знаком предела.

Замечание: когда , то .

Поэтому получаем, что , а это значит, что данный интеграл расходится.

Заметим, что из интегрируемости функции $ \vert f(x)\vert$не следует интегрируемость функции $ f(x)$. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функцию Дирихле:

$\displaystyle D(x)=\left\{\begin{array}{rl}
-1,&\text{ если }x\in\mathbb{Q};\\
1,&\text{ если }x\notin\mathbb{Q}.
\end{array}\right.$

(Напомним, что $ \mathbb{Q}$ -- это множество рациональных чисел.) Поскольку при любом разбиении $ [a;b]$на любом отрезке $ [x_{i-1};x_i]$найдётся как рациональное, так и иррациональное число, то все верхние суммы равны

$\displaystyle \ov S_D=\sum_{i=1}^n1\cdot h_i=b-a,$

а все нижние суммы равны

$\displaystyle \ul S_D=\sum_{i=1}^n(-1)\cdot h_i=-(b-a).$

Поэтому их пределы при измельчении разбиения не совпадают и, следовательно, функция $ D(x)$не интегрируема.

С другой стороны, функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$тождественно равна 1. Она интегрируема, как любая постоянная, и определённый интеграл от неё равен, как легко видно, $ b-a$.    

Методы подстановки и интегрирование частями в определенному интеграле. Использование определенного интеграла для нахождения площади геометрических фигур.

Теперь, после изучения формулы Ньютона - Лейбница, мы можем, в принципе, найти определённый интеграл для любой функции, для которой умеем вычислить неопределённый интеграл, и для этого не нужно никаких дополнительных формул и правил. Однако для уменьшения громоздкости вычисления некоторых интегралов, полезно получить формулы для определённого интеграла в тех случаях, когда приходится применять замену переменного или формулу интегрирования по частям.

Формула замены переменного в определённом интеграле.

Общее решение дифференциального уравнения. Однако, если поставить задачу: найти решение, удовлетворяющее условию y(x0)=y0, то при определенных условиях такая задача имеет единственное решение. Задача об отыскании решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0, называется задачей Коши. Решение задачи Коши называют частным решением.
наибольшее и наименьшее значение функции