История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа по математике примеры решений

Пример.  Вычислить интеграл от разрывной функции  или установить его расходимость.

Решение. Данная подынтегральная функция имеет разрыв в точке х=0, поэтому разделим исходный интеграл на два несобственных интеграла, так как они будут представлять собой интегралы от разрывной функции в точке границы отрезка интегрирования.

.  (1)

Так как подынтегральная функция имеет разрыв на правом конце отрезка интегрирования, то переходим к следующей записи:

Таким образом, на отрезке  интеграл расходится, а следовательно расходится и исходный интеграл, так как равенство (1) справедливо только для сходящихся интегралов в правой части.

Теорема 7.10   Пусть функция $ f(x)$интегрируема на отрезке $ [a;b]$. Тогда функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$также интегрируема на $ [a;b]$, причём

$\displaystyle \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx\geqslant \Bigl\vert\int_a^bf(x)\;dx\Bigr\vert.$

(7.5)



        Доказательство.     Докажем сначала, что функция $ g(x)=\vert f(x)\vert$интегрируема. Пусть $ \ul{y}_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$, $ \ov{y}_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$. $ \ul{z}_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}\vert f(x)\vert$, $ \ov{z}_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}\vert f(x)\vert$. Тогда для произвольных $ x',x''\in[x_{i-1};x_i]$будет

$\displaystyle \vert f(x')\vert-\vert f(x'')\vert\leqslant \vert f(x')-f(x'')\vert\leqslant \ov y_i-\ul y_i,$

откуда

$\displaystyle 0\leqslant \ov z_i-\ul z_i\leqslant \ov y_i-\ul y_i.$

Умножая на $ h_i$и суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем:

$\displaystyle 0\leqslant \sum_{i=1}^n(\ov z_i-\ul z_i)h_i\leqslant
\sum_{i=1}^n(\ov y_i-\ul y_i)h_i.$

Поскольку функция $ f$интегрируема, правая часть становится меньше любого $ {\varepsilon}>0$, если разбиение имеет достаточно малый диаметр $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$. Тогда для достаточно мелких разбиений и левые части становятся меньше $ {\varepsilon}$, а значит, предел верхних интегральных сумм совпадает с пределом нижних интегральных сумм для функции $ g=\vert f\vert$. Следовательно, функция $ g=\vert f\vert$интегрируема, согласно теореме 7.1.

Неравенство (7.5) докажем так: запишем очевидные неравенства

$\displaystyle f(x)\leqslant \vert f(x)\vert$    и     $\displaystyle -f(x)\leqslant \vert f(x)\vert$

и к каждому из них применим теорему об интегрировании неравенства ( теорема 7.8). Получим, если воспользоваться свойством линейности, согласно которому множитель $ -1$можно вынести за знак интеграла,

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx$    и     $\displaystyle -\int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx.$

Но эти два неравенства как раз и означают, что выполнено неравенство (7.5).     

Общее решение дифференциального уравнения. Однако, если поставить задачу: найти решение, удовлетворяющее условию y(x0)=y0, то при определенных условиях такая задача имеет единственное решение. Задача об отыскании решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0, называется задачей Коши. Решение задачи Коши называют частным решением.
наибольшее и наименьшее значение функции