Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: Если члены функционального радаЗадание. Построить область плоскости
, определяемую данными неравенствами:
а).
б).
а). Искомым множеством является пересечение кольца
и внутренней части угла
:
б). Кривую
запишем в декартовых координатах:
Итак,
.
Или
,
- Лемниската Бернулли.
Неравенство
определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство
определяет точки, лежащие правее прямой
Искомым множеством является пересечение этих областей:
Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака:
признак сходимости Абеля:
1. пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке
, причём f(x) интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл
сходится (условно или абсолютно);
2. g(x) монотонна и ограничена:
.
Тогда интегралсходится.
признак сходимости Дирихле:
1. пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b):
;
2. g(x) монотонно стремится к нулю при
:
.
Тогда интегралсходится.
Применим, например, признак Дирихле к
. Здесь f(x) = cos x, g(x) = 1/x, условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.