Задание.
Построить область плоскости 
, определяемую данными неравенствами:
а). 
б). 
а).
Искомым множеством является пересечение кольца 
и внутренней части угла 
:
б).
Кривую 
запишем в декартовых координатах:
Итак,
.
Или 
,
- Лемниската Бернулли.
Неравенство
определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее.
Неравенство 
определяет точки,
лежащие правее прямой 
Искомым множеством является пересечение этих областей:
Установить
условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии
абсолютной сходимости позволяют два следующих признака:
признак
сходимости Абеля:
1.
пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке 
, причём f(x) интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл
сходится (условно или
абсолютно);
2.
g(x) монотонна и ограничена: 
.
Тогда интеграл 
сходится.
признак сходимости
Дирихле:
1. пусть
функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому
промежутку ограничен (как функция верхнего предела b): 
;
2.
g(x) монотонно стремится к нулю при 
: 
.
Тогда интеграл сходится.
Применим, например,
признак Дирихле к 
. Здесь f(x) = cos x, g(x) = 1/x, условия признака выполнены,
поэтому интеграл сходится условно.
в некотором промежутке Е не превосходит по
абс величине соотв членов сход числового ряда 
с положительными членами, т.е. если 
для всех 
, то данный ряд сходится в этом промежутке равномерно.