История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Математика примеры решения задач самостоятельной работы

Векторная алгебра.

Задание: Даны координаты вершин пирамиды:

Вычислить:

объем пирамиды;

длину ребра ;

площадь грани ;

Решение:

1. Объем пирамиды равен  объема параллелепипеда, а объем параллелепипеда вычисляется на основании геометрического смысла смешанного произведения объем

параллелипипеда, построенного на векторах как на ребрах равен:

Найдем проекции соответствующих векторов на оси координат:

Тогда объем пирамиды равен:

 

Вычислим объем по указанной формуле:

 ;

2. Длина ребра

 ; (смотри пункт 5,3)

3. Площадь грани  вычисляется по формуле:

  так как грань  треугольник, а площадь треугольника можно вычислить как половину площади параллелограмма, а площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых построен параллелограмм на основании свойств векторного произведения  найдем проекции векторов на оси координат:

  ;

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается символом . Длина такого вектора равна нулю и ему можно приписать любое направление.

Векторы   и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными ( ).

Два вектора называются равными (), если они: 1) имеют равные модули; 2) коллинеарны; 3) направлены в одну сторону.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным.

Векторы называются компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Рассмотрим линейные операциями над векторами.

 Произведением вектора  на действительное число  называется вектор , длина которого , а направление совпадает с , если  , и противоположно , если . Из определения следует, что векторы  и  всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Следовательно, равенство

  (2.1)

выражает условие коллинеарности двух векторов.

Противоположным вектором  называется произведение вектора  на число , т.е. . Если , то орт вектора  находится по формуле

 . (2.2)

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод вариации произвольной постоянной и метод представления искомой функции в виде произведения. Общее решение линейного однородного уравнения первого порядка.
наибольшее и наименьшее значение функции