История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Математика примеры решения задач самостоятельной работы

Аналитическая геометрия

Составим уравнение прямой AD.

а) Предварительно найдем уравнение прямой BС. Уравнение прямой, проходящей через точки  и , имеет вид

  (3.1)

По условию , . Подставим координаты точек  и  в уравнение (3.1): , т.е. .

Запишем полученное уравнение в общем виде, то есть в виде . Для этого в последнем уравнении избавимся от знаменателей  и проведем преобразования, перенося все слагаемые в левую часть равенства:  или .

Из этого уравнения выразим : ; . Получили уравнение вида  - уравнение с угловым коэффициентом.

б) Воспользуемся тем фактом, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим искомое уравнение прямой AD как уравнение прямой, проходящей через точку  параллельно прямой .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку  в данном направлении, имеет вид

  (3.2)

где направление определяется угловым коэффициентом .

Условие параллельности двух прямых  и  имеет вид

  (3.3)

По условию задачи , прямая . Подставим координаты точки  в уравнение (3.2): . Так как прямая  параллельна прямой , то в силу формулы (3.3) их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой  равен , следовательно, уравнение прямой  имеет вид .

Запишем уравнение прямой  в общем виде. Для этого раскроем скобки и все слагаемые перенесем в левую часть равенства: . Умножим обе часть равенства на (-2) и получим общее уравнение прямой : .

Запишем уравнение прямой  в виде с угловым коэффициентом. Для этого выразим   из общего уравнения: .

Введенные операции умножения вектора на число и сложения векторов называются линейными и удовлетворяют ( и ) следующим свойствам:

1о. ;  2о. ; 3о. ;

4о. ;  5о. ; 6о. 1 = ;

7о. ;  8о. () = +.

Множество векторов пространства, удовлетворяющих свойствам 1о - 8о, называется линейным или векторным пространством, которое в дальнейшем будем обозначать .

Назовем осью прямую, на которой задано направление. Углом между двумя векторами (или между вектором и осью, или между двумя осями) называется наименьший угол , на который нужно повернуть один вектор (ось), чтобы он совпал по направлению c другим вектором (осью). Очевидно, что .


Проекцией вектора   на ось l (обозначается  или ) называется длина отрезка , заключенного между ортогональными проекциями начала и конца вектора  на эту ось, взятая со знаком плюс, если направление от  до  совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если не совпадает (рис. 3.3, а, б).

Из определения и рис. 3.3 следует, что проекция  вектора  на ось l равна произведению длины вектора   на косинус угла  между вектором   и осью l, т.е.

 . (2.3)

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод вариации произвольной постоянной и метод представления искомой функции в виде произведения. Общее решение линейного однородного уравнения первого порядка.
наибольшее и наименьшее значение функции