История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа по математике примеры решений

Задание. Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Решение.

Найдем частные производные:

Следовательно,

, .

Таким образом, функция  гармоническая в плоскости , и, значит существует такая аналитическая в  функция , что .

В силу условий Коши-Римана имеем:

  (1)

 (2)

Интегрируем уравнение (1) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до слагаемого :

.  (3)

Продифференцируем (3) по х:

Сопоставляя результат с (2), получаем , откуда .

Таким образом, имеем

  и

Учитывая условие , получаем .

Итак,

Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a, b] и пусть существует конечный . Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Док-во. Так как функции неотрицательны, то K > 0. По определению предела для существует такое значение x0, что при x > x0 выполняется . Дальше рассуждения простые: пусть a1 = min{a, x0}; если сходится , то сходится , тогда, по теореме сравнения, сходится сходится сходится. Если расходится , то расходится , тогда, по теореме сравнения, расходится расходится расходится. Случаи, когда сходится или расходится , рассмотреть самостоятельно.
Сравнение интеграла со "стандартным" интегралом в предельной форме позволяет сформулировать такое правило: если при неотрицательная функция f(x) - бесконечно малая порядка малости выше первого по сравнению с , то сходится; если f(x) не является бесконечно малой или имеет порядок малости единица или ниже, то интеграл расходится.

 Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: Если члены функционального рада  в некотором промежутке Е не превосходит по абс величине соотв членов сход числового ряда с положительными членами, т.е. если для всех , то данный ряд сходится в этом промежутке равномерно.
наибольшее и наименьшее значение функции