История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Математика примеры решения задач самостоятельной работы

Аналитическая геометрия

Найти расстояние от точки  до плоскости : .

Решение.

Расстояние  от точки  до плоскости  представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, и определяется формулой

  (3.10)

Для плоскости  координаты нормального вектора  определяются равенствами , , . Следовательно, .

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки  и .

Решение.

Уравнения прямой, проходящей через точки  и  имеют вид

  (3.11)

Так как , , то в силу (3.11) получим уравнения  или .

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = lX в виде (A - lE)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

 (a11 -l)x1 + a12x2 +... + a1nxn =0,

 a21x1 + (a22 -l)x2 +... + a2nxn = 0,

  ... ... ... ... ... ... ... ... (5.6)

 an1x1 + an2x2 +... + (ann-l)xn = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

  = .

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной l, которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен  называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - lE)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения l и решать обычным образом.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Понятие общего и частного решения. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядков. В дальнейшем будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной - уравнения, записанные в нормальной форме: y(n)) = f(x, y, y', y'', ..., y(n-1)). (2)
наибольшее и наименьшее значение функции