История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Математика примеры решения задач самостоятельной работы

Аналитическая геометрия

 Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  параллельно прямой : .

Решение.

Канонические уравнения прямой имеют вид . Здесь  - координаты точки, через которую проходит прямая.

В канонические уравнения прямой  подставим координаты точки . Получим: .

Условие параллельности прямых  и  имеет вид

  (3.12)

Так как прямые  и  параллельны, то в качестве направляющего вектора  прямой  можно взять направляющий вектор  прямой , т.е. в формуле (3.12) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой  примет вид .

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка
a, b, c - левая, то a b c<0 и V = - a b c, следовательно V = êa b c ê.

Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом ао. Символом r=ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ или êа ê, êАВ ê обозначаются модули векторов а и АВ.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Понятие общего и частного решения. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядков. В дальнейшем будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной - уравнения, записанные в нормальной форме: y(n)) = f(x, y, y', y'', ..., y(n-1)). (2)
наибольшее и наименьшее значение функции