История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Математика примеры решения задач самостоятельной работы

Аналитическая геометрия

Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  перпендикулярно плоскости : .

Решение.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку, имеют вид .

Подставим в эти уравнения координаты точки . Получим:

Условие перпендикулярности прямой  и плоскости  имеет вид .

Так как прямая  перпендикулярна плоскости , то в качестве направляющего вектора  прямой  можно взять нормальный вектор  плоскости , т.е. в формуле (3.13) отношение  можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой  примет вид: .

 Найти координаты точки пересечения прямой :  и плоскости : .

Решение.

Координаты точки  пересечения прямой  и плоскости  представляют собой решение системы

  (3.14)

Запишем параметрические уравнения прямой :  и подставим выражения для  в уравнение плоскости : . Отсюда ; . Подставим найденное значение  в параметрические уравнения прямой : . Следовательно, .

После выбора в пространстве определенной системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор (3.4) может быть записан в эквивалентной форме

  . (2.5)

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора   равна длине диагонали параллелепипеда, построенного на векторах  (рис.3.4), и выражается равенством

  . (2.6)

С помощью формулы (3.3) легко получить выражения для координат вектора через его модуль (3.6) и , , , называемые направляющими косинусами вектора

  (2.7)

Из формул (2.6) и (2.7) имеем

  (2.8)

откуда, возведя в квадрат левую и правую части каждого из равенств (3.8) и суммируя полученные результаты, найдем

  . (2.9)

Если   - единичный вектор, т.е. , то из формул (3.8) имеем

 , (2.10)

т.е. координатами единичного вектора служат его направляющие косинусы.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Понятие общего и частного решения. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядков. В дальнейшем будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной - уравнения, записанные в нормальной форме: y(n)) = f(x, y, y', y'', ..., y(n-1)). (2)
наибольшее и наименьшее значение функции