История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач курсовой

Аналитическая геометрия

Пример. Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду и построить кривую.

Решение.

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. Коэффициенты при  и  вынесем за скобки:

Выделим полный квадрат: . Отсюда . Разделим обе части равенства на 25: . Запишем полученное уравнение в каноническом виде: .

Выполним параллельный перенос осей координат по формулам . При таком преобразовании начало координат переносится в точку , уравнение эллипса принимает канонический вид .

В нашем примере , , , .

Итак, рассматриваемое уравнение определяет эллипс с центром в точке  и полуосями  и .

Рис. 13

Рассмотрим две точки  и , радиусы-векторы которых суть  и  (рис. 3.5). Так как   то прихо-дим к следующему выводу: чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

Отсюда, в частности, получаем формулу для вычисления расстояния между рассматриваемыми точками А и В:

.  (2.13)

Разделить отрезок АВ в данном отношении  это значит найти на данном отрезке такую точку  С, что имеет место равенство . Найдем координаты х, у, z точки С, если  и . Из рис. 3.5 следует, что

Отсюда, приравнивая координаты, получим

   (2.14)

В частности, при  из системы (3.14) находим координаты середины отрезка  АВ

  (2.15)

Функция y(x) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, b) и удовлетворяет уравнению для всех x(a, b). График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.
Найдем точки экстремума функции