История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач курсовой

Аналитическая геометрия

Задача

Кривая задана в полярной системе координат уравнением .

Требуется:

найти точки, лежащие на кривой, давая  значения через промежуток, равный , начиная от  до ;

построить полученные точки;

построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала);

составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат.

Решение.

Сначала построим таблицу значений  и :

0

2,00

1,92

1,71

1,38

1,00

0,62

0,29

0,08

0,00

0,08

0,29

0,62

1,00

1,38

1,71

1,92

Построим эти точки в полярной системе координат. Полярная система координат состоит из начала координат  (полюса) и полярной оси . Координаты точки  в полярной системе координат определяются расстоянием  от полюса (полярным радиусом) и углом  между направлением полярной оси и полярным радиусом (полярным углом). Для того, чтобы построить точку , необходимо построить луч, выходящий из точки  под углом  к полярной оси; отложить на этом луче отрезок длиной .

Рис. 15

Построим все точки, определенные в таблице и соединим их плавной линией

Рис. 16

Запишем уравнение рассматриваемой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами перехода от декартовой к полярной системе координат.

Если полюс совпадает с началом координат прямоугольной декартовой системы координат, полярная ось – с осью абсцисс, то между прямоугольными декартовыми координатами  и полярными координатами  существует следующая связь:

,  

Откуда

 

Рис. 17

Итак, в уравнении исходной кривой , . Поэтому уравнение  принимает вид . После преобразований получим уравнение .

Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения.

1о. Скалярное произведение коммутативно:

 .

2о. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярных множителей:

 

3о. Скалярное произведение дистрибутивно относительно суммы векторов:

 .

4о.   (либо , либо , либо ). Таким образом, условием ортогональности (перпендикулярности) двух ненулевых векторов  и  является равенство нулю их скалярного произведения, т.е.

 

Рассмотрим теперь скалярное произведение вектора самого на себя. Такое произведение называется скалярным квадратом вектора:

  .

Таким образом,

 , (2.20)

т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Функция y(x) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, b) и удовлетворяет уравнению для всех x(a, b). График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.
Найдем точки экстремума функции