История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач курсовой

Аналитическая геометрия

Задача

Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами

1) 

2) 

Решение.

Для того, чтобы решить неравенство  на плоскости, надо построить график линии . Кривая  разбивает плоскость на части, в каждой из которых выражение  сохраняет свой знак. Выбирая пробную точку в каждой из этих частей, найдем часть плоскости, являющуюся искомым решением неравенства.

1) Построим прямые  и , заштрихуем область, в которой . Затем построим параболу  и заштрихуем область, содержащую ось симметрии параболы (расположенную внутри параболы); построим прямую  и заштрихуем область, лежащую выше прямой. Пересечение всех заштрихованных областей и определит множество точек, представляющих решение рассматриваемой системы.

Рис. 18

2) Построим линию, определяемую уравнением . Эта линия представляет собой ту часть окружности  или , на которой . Далее построим прямую  (). Решением рассматриваемого двойного неравенства является часть плоскости, расположенная между нижней половиной окружности  с центром в точке  радиуса  прямой .

Рис. 19

Найдем выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов. Координатные орты  имеют длины, равные единице, т.е. . Далее, так как эти векторы взаимно ортогональны, то .

Пусть даны два вектора  и . В таком случае

 , (2.21)

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат.

В частности, положив в (2.21) , найдем

 .

Отсюда следует, что

 . (2.22)

Используя координатную форму скалярного произведения, получаем, что условие ортогональности ненулевых векторов  и  имеет вид

 . (2.23)

Выражая скалярное произведение и модули векторов через их проекции по формулам (3.21) и (3.22), получим формулу для нахождения косинуса угла  между векторами:

  . (2.24)

Пусть дан вектор  и ось l, которая составляет с базисными векторами   соответственно углы . Найдем . Для этого зададим направление оси  l ортом . Тогда, согласно (2.19)

  . (2.25)

Будем предполагать, что в пространстве R3 выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.

Функция y(x) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, b) и удовлетворяет уравнению для всех x(a, b). График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.
Найдем точки экстремума функции