История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач курсовой

Введение в математический анализ.

Вычислить пределы функций. Найти .

Решение. Для вычисления данного предела подставим значение  в функцию, стоящую под знаком предела. Получим,

.

Ответ. -3.

в) Найти .

Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, а затем сократить дробь на общий множитель.

 

Ответ. .

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Рассмотрим график функции  (рис. 5.1), дифференцируемой в точке x. Проведем касательную к кривой в точке M с абсциссой x. Зададим в точке x приращение , отметим на кривой точку N с абсциссой . Проведем построение, указанное на рисунке. Из треугольника AMB получим (СР 10.13) . Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому .

Сравнивая полученный результат с формулой (5.1), получим , т.е. дифференциал функции  в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функций в этой точке, когда x получит приращение .

Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Как известно, если функция   дифференцируема в точке , то на основании формулы (5.2.) ее приращение , соответствующее приращению , можно записать следующим образом:

,

где . Отсюда следует, что дифференциал функции при достаточно малых  может служить хорошим приближением приращения функции. Отбрасывая б.м.  более высокого порядка, чем , получим приближенное равенство

,  (5.3.)

которое позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.

Запишем приближенное равенство (5.2.) более подробно. Так как , а , то

.  (5.3.)

Функция y(x) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, b) и удовлетворяет уравнению для всех x(a, b). График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.
Найдем точки экстремума функции