История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач курсовой

Введение в математический анализ.

Функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей независимой переменной.

Требуется:

найти точки разрыва функции, если они существуют;

найти скачок функции в каждой точке разрыва;

сделать схематический чертеж.

Решение. Функция  непрерывна для , функция  непрерывна в каждой точке из , функция  непрерывна в каждой точке интервала .

 Точки, в которых функция может иметь разрыв, это точки  и , где функция меняет свое аналитическое выражение.

  Исследуем точку .

, , . Таким образом, точка  есть точка непрерывности функции .

Исследуем точку .

, , . Таким образом, односторонние пределы существуют, конечны, но не равны между собой. По определению, исследуемая точка – точка разрыва первого рода. Величина скачка функции в точке разрыва  равен .

 Сделаем схематический чертеж

Рис. 2

Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k1 x + b1 задается формулой:

tg j = .

Равенство 1 + k1 k = 0 есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

A1 x + B1 y + C1= 0, (3.7)

A2 x + B2 y + C2 = 0, (3.8)

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

A1/A2 = B1/B2 = C1/C2.

Уравнения (2.7), (2.8) задают две различные параллельные прямые, если A1/A2 = B1/B2 и B1/B2 ¹ C1/C2; прямые пересекаются, если A1/A2 ¹ B1/B2.

Расстояние d от точки Mо(xо, yо) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки Mо к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то d = êrо nо - р ê, где rо - радиус-вектор точки Mо или, в координатной форме, d = êxо cosa + yо sina - р ê.

Функция y(x) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, b) и удовлетворяет уравнению для всех x(a, b). График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.
Найдем точки экстремума функции