История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Производная и дифференциал

Решение типового варианта

Пример.

Найти производные заданных функций

а) ;

Решение:

;

.

б) ;

Решение:

Используем формулу .

.

Производные функции и их применение.

5.1. Определение производной ее геометрический, механический и экономический смысл. Зависимость между непрерывностью и дифференциалом функции.

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке хo называется предел

 = .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен ¥ (или - ¥), то при условии, что функция в точке хo непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке хo бесконечную производную.

Производная обозначается символами

y ¢, f ¢(xo), .

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке хo; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент to.

Таким образом, для того чтобы решить методом вариации произвольных постоянных решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует: записать характеристическое уравнение; найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln; найти фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x));
Найдем точки экстремума функции