История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Производная и дифференциал

в) ;

Решение:

Используем формулу .

.

г) ;

Решение:

Используем формулу .

, где ;

.

д) ;

Решение:

Используем формулу .

, где ;

.

е)  ;

Решение:

Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная неявной функции. Производные высших порядков.

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v2;

5) если y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то , или

;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем  ¹ 0, то .

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (um)' = m um-1 u' (m Î R).

2. (au)' = au lna× u'.

3. (eu)' = eu u'.

4. (loga u)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u× u'.

7. (cos u)' = - sin u× u'.

8. (tg u)' = 1/ cos2u× u'.

9. (ctg u)' = - u' / sin2u.

10. (arcsin u)' = u' /.

11. (arccos u)' = - u' /.

12. (arctg u)' = u'/(1 + u2).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u2).

Таким образом, для того чтобы решить методом вариации произвольных постоянных решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует: записать характеристическое уравнение; найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln; найти фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x));
Найдем точки экстремума функции