История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Производная и дифференциал

Пример

Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке с абсциссой .

Решение:

Найдем ординату точки касания:

.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке :

.

Подставляем значения  и  в уравнение касательной :

,

получили уравнение касательной .

Подставляем значения  и  в уравнение нормали :

,

получили уравнение нормали .

Определения дифференциала функции. Правила нахождения дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Дифференциал функции и его геометрический смысл. Пусть функция   дифференцируема в точке . Тогда, как следует из (14.43), приращение функции  представляет собой сумму двух слагаемых  и , являющихся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть б.м.ф. одного порядка с , так как , а второе слагаемое есть б.м.ф. более высокого порядка, чем : .

Поэтому первое слагаемое , линейное относительно , называется главной частью приращения функции .

Определение. Дифференциалом функции  в точке  называется главная, линейная относительно , часть приращения функции.

Дифференциал функции обозначается символом  или . Из определения следует,

.  (14.45)

Найдем дифференциал независимой переменной , т.е. дифференциал функции .

Так как , то, согласно формуле (14.45), имеем . Поэтому формулу (14.45) можно записать так:

.  (5.1)

Таким образом, для того чтобы решить методом вариации произвольных постоянных решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует: записать характеристическое уравнение; найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln; найти фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x));
Найдем точки экстремума функции