История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Исследование функций.

Пример

Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение.

Общая схема исследования функций:

Найти область определения функции.

Исследовать поведение функции на концах области определения. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках. Найти вертикальные асимптоты.

Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической.

Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

Найти наклонные асимптоты графика функции. Площадь в полярных координатах Дифференциальные уравнения вычисление площади и обьема Математика Примеры и задачи

Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

Построить схематический график функции, используя все полученные результаты.

1. Функция не определена, если

 Область определения:

2. Т.к. - точка разрыва функции исследуем поведение функции в этой точке слева и справа

Т.к. пределы равны значит  точка разрыва второго рода.

Следовательно, прямая - вертикальная асимптота.

Проверим функцию на четность, нечетность. Напомним, что функция   называется четной (нечетной) если выполнены два условия:

Область определения симметрична относительно начала координат

 

Если  четная, то график симметричен относительно оси ординат, а для нечетной – относительно начала координат.

Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.

Функция не является периодической

Для экономики представляет интерес условие равновесия, т.е. когда спрос равен предложению: это условие дается уравнением

  (4.10)

и соответствует точке пересечения кривых D и S – это так называемая точка равновесия (рис. 12.34). Цена , при которой выполнено условие (410), называется равновесной.

При увеличении благосостояния населения, что соответствует росту величины с в формуле (12.8), точка равновесия М смещается вправо, так как кривая D поднимается вверх; при этом цена на товар растет при неизменной кривой предложения S.

Рассмотрим простейшую задачу поиска равновесной цены. Это одна из основных проблем рынка, означающая фактически торг между производителем и покупателем (рис. 4.33).

Пусть сначала цену  называет покупатель (в простейшей схеме он же и продавец). Цена  на самом деле выше равновесной (естественно, всякий производитель стремиться получить максимум выгоды из своего производства). Покупатель оценивает спрос  при этой цене и определяет свою цену , при которой этот спрос   равен предложению. Цена  ниже равновесной (всякий покупатель стремиться купить подешевле). В свою очередь производитель оценивает спрос , соответствующий цене , и определяет свою цену , при которой спрос равен предложению.

Таким образом, для того чтобы решить методом вариации произвольных постоянных решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует: записать характеристическое уравнение; найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln; найти фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x));
Найдем точки экстремума функции