История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа по математике примеры решений

Задание. Для функции  найти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

a) ;

б) ;

в) .

Решение.

а). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки разложим функцию в ряд Лорана по степеням :

Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит   - полюс. Порядок высшей отрицательной степени  определяет порядок полюса. Следовательно,  - полюс кратности 2. Вычет найдем, используя формулу , тогда .

б). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем признак поведения функции в особой точке.

, значит  устранимая точка и, следовательно .

в). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем разложение функции в ряд Лорана по степеням :

Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, значит  - существенно особая точка. Тогда , т.к. коэффициент при  равен нулю.

При отсутствии абсолютной сходимости установить условную сходимость можно с помощью признаков Абеля и Дирихле:
Признак Дирихле. Интеграл сходится, если:
1).функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную на (a, b];
2).функция g(x) непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], причём.


Признак Абеля. Интеграл сходится, если:
1).функция f(x) непрерывна на (a, b] и интеграл сходится;
2).функция g(x) ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], то есть имеет конечный предел:

 Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: Если члены функционального рада  в некотором промежутке Е не превосходит по абс величине соотв членов сход числового ряда с положительными членами, т.е. если для всех , то данный ряд сходится в этом промежутке равномерно.
наибольшее и наименьшее значение функции