История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач контрольной

Исследование функций.

Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

 Напомним, что график функции  называется выпуклым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит ниже любой своей касательной. График функции  называется вогнутым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит выше любой своей касательной. Исследовать поведение функции Математика Примеры решения задач

  Точки, в которых функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

 Перегиб возможен в точках, в которых  равна нулю или не существует. Если  на интервале , то график функции является выпуклым  на этом интервале, если же , то на интервале  график вогнутый .

Найдем точки перегиба

Составим таблицу

-2

1

-

0

+

не существует

+

0

не существует

Точка - точка перегиба.

Дополнительные точки:

Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. В этом и заключается свойство инвариантности (независимости) формы первого дифференциала, которое позволит в дальнейшем ввести операцию, обратную дифференцированию (интегрирование).

Из формул (14.52) и (14.53) следует, что

,

т.е. производная функции в точке численно равна отношению дифференциалов функции   и переменной  независимо от того, является ли  независимой переменной или функцией .

Понятие производной -го порядка. Пусть функция  имеет конечную производную  в каждой точке некоторого промежутка, называемую производной первого порядка. Но производная  сама является функцией от , которая также может иметь производную. Эту производную называют производной второго порядка (или второй производной) от функции  и обозначают символом  или :  (читается “игрек два штриха” или “эф два штриха от икс”). Так, например, если , то , .

Аналогично, если существует производная от производной второго порядка, то ее называют производной третьего порядка (или третьей производной) от функции  и обозначают символом  или : .

Вообще, производной -го порядка от функции  называют производную от производной -го порядка и обозначают символом  или :

 (14.54)

Отметим, что в формуле (14.54) принято , т.е. производная нулевого порядка есть сама функция.

Производные порядка выше первого называют производными высших порядков.

Функция, имеющая производную любого порядка, называется бесконечно дифференцируемой. Таковой является, например, функция .

Таким образом, для того чтобы решить методом вариации произвольных постоянных решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует: записать характеристическое уравнение; найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln; найти фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x));
реструктуризация бизнеса
Новостройки пензы еще по теме.
Найдем точки экстремума функции