История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач курсовой

Интегральное исчисление функции одной переменной.

н)

  {второе слагаемое вычислим с помощью замены, применив формулу (2)}

 

  в итоге получаем 

о) .

Под знаком интеграла правильная рациональная дробь. Разложим её на простейшие дроби:

Перейдем к равенству числителей:

.

Отсюда следует, что

 

Тогда

Интегрируя почленно полученное равенство и применяя свойства неопределённого интеграла, получим:

{для нахождения интегралов применим формулу (3)}

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной). Во многих случаях удается введением вместо переменной интегрирования  новой переменной  свести данный интеграл  к новому интегралу, который или содержится в таблице основных интегралов, или легко вычисляется иным способом. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Пусть требуется найти интеграл . Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив , где –непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную , а . Покажем, что имеет место равенство

.  (6.14)

Это соотношение называется формулой замены переменной. Чтобы установить справедливость этой формулы, достаточно показать, что дифференциалы ее левой и правой частей совпадают.

Согласно (16.3), дифференциал левой части

,

где вместо  и  подставлены их выражения через переменную .

Дифференциал правой части, согласно тому же свойству, равен

.

Тем самым справедливость формулы (16.14) доказана.

Допустим, что интеграл, стоящий в правой части формулы (6.14), найден, т.е.

.

Для нахождения искомого интеграла в виде функций от , необходимо разрешить уравнение   относительно , т.е. найти обратную функцию , и подставить ее в :

. (6.15)

Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Структура общего решения. Метод суперпозиции. Отыскание частного решения методом подбора для правой части вида Pn(x), где Pn(x) – многочлен. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения для линейного неоднородного дифференциального уравнения (n-го) порядка.
Найдем точки экстремума функции