История искусства Экология энергетики Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика решение задач и примеров Курс лекций по физике и электротехнике
Исследование функций

Математика примеры решения задач курсовой

Интегральное исчисление функции одной переменной.

Задание: Вычислить:

а) площадь фигуры, ограниченной линиями:  и ;

б) длину дуги кривой:

 ,

в) объем тела, полученного вращением фигуры , вокруг оси 

 

Решение:

а) Существуют несколько формул для вычисления площадей плоских фигур.

Площадь фигуры, заданной в декартовой системе координат, ограниченной линиями  - сверху,  - снизу, слева прямой , справа прямой  определяется формулой  (14);

Площадь фигуры, ограниченной кривой заданной параметрически уравнениями   , определяется формулой  (15);

Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат, ограниченной кривой   и лучами , , определяется формулой:  (16).

В нашем случае линии, ограничивающие фигуру, заданы в декартовых координатах, поэтому мы будем использовать формулу (14).

Найдем координаты точек пересечения линий:     

  .

;

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, т.е.

. (6.6)

Доказательство аналогично свойству 16.3º.

Это свойство легко распространяется на любое конечное число слагаемых функций, т.е.

.  (6.7)

Инвариантность формулы интегрирования Если , то и

  , (6.8)

где  – произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

□ Действительно, пусть

и   – непрерывнодифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию . В силу инвариантности формы первого дифференциала функции имеем .

Отсюда . <

Структура общего решения лин. однор. уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения и в случае кратных корней характеристического уравнения. Совокупность n линейно независимых решений лин. однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), ..., yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.
Найдем точки экстремума функции